叹为观“纸”！高校数学老师把折纸带进课堂，玩出新花样

上游新闻·重庆晚报慢新闻见习记者 周荞/文 受访者供图

刘铁现场折的纸花

一张不裁不剪的纸，在你手上能变成什么？或许多数人的作品都局限于飞机、轮船、千纸鹤……但西南大学数学与统计学院的刘铁老师不同，她的折纸作品大多很“数学”。五重四面体、柏拉图多面体、谢尔宾斯基三角形……静态的纸张在指尖变得鲜活，数学之美也尽情穿梭于纸间。

小小的纸片在刘铁手中似乎焕发了新的生命。对折、卷折、谷折，是谓折纸之道；定义的深刻，逻辑的明晰，结果的精确，是谓数学之美。眼前的柏拉图多面体色彩不一，小巧好看，它作为几何模型，不仅在课堂上以教具的身份呈现，却也是一件集折纸之道与数学之美的艺术作品。

柏拉图多面体的5种类型

折纸邂逅数学之美

12月12日，上游新闻·重庆晚报慢新闻记者来到西南大学折纸与数学思维实验室，实验室里窗帘紧闭，不透一点光线。“房间里面放了很多折纸的作品，不能被太阳晒到，会褪色。”刘铁带来的12个花球是她的新作，颜色各异，颇为精致。七彩色、黄 红色、蓝 粉色、绿 橙色…..这些花球多以双色构成，色彩配搭无一雷同，看起来却是高度的协调。每一个花球足够在手上把玩，虽然个头小，但费的功夫可不少。刘铁介绍，将60张15厘米的正方形手工纸裁成8份，制作过程中不剪裁，不粘贴，做好一个花球的大概要1-2小时。

长角正多面体

其实，这种花球用规范的数学术语描述，叫做长角正多面体。它们是以柏拉图多面体为基础型，在其上长出正三棱锥的多面体。“长出的多面体样式也可变化。”刘铁说实验室中的一个体积较大的黄绿长角多面体便可反复翻折，其变化的样子就像柏拉图多面体开出了一朵朵花。“能动的模型会更受欢迎。”除去可玩性，美观程度也成为折纸作品的试金石。一张纸经折叠和塑形，承载了刘铁和学生们在创作作品时的想象、技巧和决心。8年前，折纸与数学思维实室成立，刘铁在那时才正式接触到折纸。“越深入学习折纸，我才越明白它与数学的关系密不可分。”折叠蕴含各种数学知识，塑形则激发对美的感悟，一个作品的完成意味着将想象力与技法归纳演绎至平衡。

梦幻曲面曲线

20个大纸箱堆满了实验室的一面墙，纸箱上清楚明晰地标好每一个作品的名字，个数。刘铁把它们保管得妥当，就算拿出展览，也会在收回时及时贴上胶带封存。这些作品多数与数学相关：梦幻曲面曲线用各种形状的多边形变换角度距离得来，与直线来了一次美妙的交织，极富数学之美；五重四边体由五个空心正四面体穿插，虽组拼原理复杂，但形似六芒星，观之也格外精致好看；柏拉图多面体共有五种多面体结构，从正四面体到正二十面体，具有高度的对称性和次序之妙。

空心五重四面体

实心五重四面体

寓教于乐 在折纸中建立“数感”

数量众多的作品当然不单单是刘铁一个人完成。每周五下午，三十余名西南大学数统学院的学生会按时打卡实验室，听刘铁为他们讲授最基础的折纸理论。“明年我还要开一门全校的通识选修课，课程名字就叫《折纸与数学》”刘铁说，折纸从来不只是一门手工，它可用来讨论数学问题，数学也同样能讨论折纸的问题。

长角正多面体 鹤舞云天

而折纸游戏，一直都是最受欢迎学生的讨论方式。6块形状不一的多面体如何放进一个正方体盒子里？在这个装盒游戏中，多面体均不规则，甚至有两块的长宽从肉眼看就比盒子大出一圈。“装不下。”记者试过几次后，发现远没有想象中简单。刘铁笑道，记者其实是在“试误”，直白来说就是因为错得太多，不断尝试错误最终才得以完成。正确的方法是通过数学思维进行分析组合哪两块立方体可以优先组合，“有时候，数学老师更多的不是告诉学生题该如何做，而是培养他们的数学思维，帮助其建立’数感’。”

空盒游戏

值得一提的是，刘铁将自己亲手折出的马鞍面用在了自己的高数课堂上。“马鞍面又叫双曲抛物面，因形如马鞍被命名。”刘铁手中用绿色手工纸折成的马鞍面正反可流畅翻折，作为一个典型直纹面，它整个曲面由直线构成。“如果学生没有这个直观的折纸模型，很难理解是曲面上的直线问题。”刘铁说，高数课上的马鞍面把抽象的理解具象化了。

刘铁演示她做的马鞍图

折纸来证明那些你熟知的数学定理

只要涉及数学，刘铁的表情便显得审慎严肃。她坐在实验室桌前，继续向记者“发难”：如何对折一张纸？记者不假思索地横着折叠了一次，形成长方形。“那万一有人沿对角线折叠，形成三角形呢？刘铁解释说，数学折纸与一般折纸有着根本的不同，即数学折纸的描述应该是一种可重复的规范描述。意味着只要描述这种操作，所有人做出来的结果应相同。

计算机折纸

“折叠得到一条线，和欧式几何中过两点有且只有一条直线，讲的是同一件事。”刘铁讲得很细致，仿佛置身自己的课堂。正方形对折便可以引入折纸几何学的三大公理，据此垂直平分线定理、角平分线定理、30°角定理，都能一一得到证明。

普通方程式捕捉不了数学的别样奥妙，但是折纸能。勾股定理作为几何学中被大众所熟知的一个定理,其证明的方法多种多样。“一般的证明过程主要是借助尺规作图来完成，学生往往印象不深。”刘铁认为，反而是利用正方形折纸得到"折纸勾股图"可以让学生在动手作操作的过程中感受和掌握勾股定理的古典证法。

长角彩色多面体

不一样的老师和不一样的学生

“我们首先将长方形的一条短边，和一条长边重合折叠、压实。”这句话记者已经记不清刘铁在采访时说过多少次。但在这个学校，她却不厌其烦地说了整整一个学期。

这一步骤作为折纸的惯例开场白，是起步，是基础。普通学生就算不看刘铁的手上动作，只需听她描述便能自主完成。不过，在北碚区特殊教育学校的教室里，光是“对折”这个简单的动作，有些特殊儿童要训练一学期才能跟上进度。

北碚区特殊儿童教育学校的学生

参加志愿者服务的刘铁在这里不叫刘老师，为了方便特殊儿童记忆，孩子们一般亲切地喊她“铁蛋”老师。刘铁每一周都会带来不同的课程内容，虽仅是改变折纸的花样，但这也足够让学生们雀跃。“七巧板折叠是学的最多的，这种折纸训练能锻炼他们认识数学图形，在提升训练专注度的同时精确动作。”刘铁回忆，在上完一学期的36节课时后，学生的手脑协调能力明显提高，从最开始的线线不能对齐，点点不能重合，逐渐能够准确甚至精确折叠。

纸飞机展览所展示的20种不同类型的纸飞机

“只有和学生们相处过，才更能理解他们的与众不同，但这个过程需要长足的耐心。”让刘铁欣喜的是，折纸中渗透的数学知识：如认识图形、面积慢慢被学生们掌握，“从刚开始的模仿折叠变为能够根据我的语言描述，寻找要求重合的几何要素进行折叠，几何思维提高得很明显。”

孩子们的共同作品

刘铁手上的一副“菠萝图”是10位特殊儿童的共同作品。黄色的三角形组成菠萝的果肉，绿色的三角形是叶子，10个孩子每人折了一个三角形，最后组拼成了一幅画送给她们喜爱的“铁蛋”老师。“这个普通的三角形于这些孩子而言，都是一种挑战。”刘铁对这幅画珍而视之，用塑封封好，并在画旁注明了每一个孩子的名字。她说，她想记住因为教授折纸而带来的感动。

期待未来的折纸艺术家

谈到未来的计划，刘铁说她常常听见这样一句话：“折纸起源于中国，发扬于日本”。这句话让她觉得很是惋惜。刘铁今年参加了在英国剑桥大学举办的第七届世界性的折纸大会，面对被问到折纸明明起源于中国，中国却没有人做相关性的历史考究的问题。刘铁表示，正在做，但中国做折纸的人太少了。“我作为老师，想培养更多喜欢折纸的学生。”

据了解，目前刘铁已办过多场以纸飞机模型为主题的展览，以兴趣为引导，吸引更多孩子关注折纸。同时，刘铁也希望让折纸不囿于手工艺术，而是往航天、教育、数学、科技应用方面发展。

责编 杨昇 审校 张彬 总值班 李莉